Equações de Maxwell

Há apenas pouco mais de um século atrás, em 1860, James Clerk Maxwell mostrou que era possível fazer uma descrição completa dos fenômenos eletromagnéticos através de um conjunto de apenas quatro equações. Assim como Newton baseou-se no trabalho prévio de outros para formular as suas famosas leis da Mecânica, Maxwell também fez uso de formulações existentes sobre fenômenos elétricos e magnéticos feitas por outros físicos. De modo particular, cabe citar a longa série de investigações experimentais e teóricas feitas por Michael Faraday.

Maxwell, portanto, não inventou as equações que hoje levam o seu nome (na verdade apenas uma dessas equações foi por ele formulada pela primeira vez). A sua importante contribuição foi a de mostrar que essas equações formam a base da interpretação de todos os fenômenos eletromagnéticos de campo (incluindo ondas eletromagnéticas e alguns eventos básicos listados no início deste capítulo).

Com o trabalho de Maxwell, as quatro equações básicas do campo eletromagnético podem ser resumidas, em palavras, da seguinte forma:

1) O campo elétrico produzido por uma carga elétrica puntiforme é dado pela Lei de Coulomb.

2) Não existem monopolos magnéticos.

3) Um campo magnético pode ser produzido por uma corrente elétrica assim como por um campo elétrico variável.

4) Um campo magnético variável produz um campo elétrico.

Em outra oportunidade, falando sobre seu “Tratado sobre Eletricidade e Magnetismo”, Maxwell disse: É principalmente com a esperança de fazer essas ideias (de Faraday) a base de um método matemático que escrevi esse tratado.

As leis do eletromagnetismo que vimos até aqui foram leis descobertas empiricamente, no laboratório, e em sua forma integral são dadas por:

Tabela 1: Equações de Maxwell

As equações de Maxwell compreendem as leis de Gauss para o campo elétrico e magnético a lei de Ampére, generalizada por Maxwell, e a lei de Faraday. A formulação matemática das idéias propostas nessas leis, através dos operadores diferenciais (gradiente, divergente e rotacional) é que permitiu, a Maxwell, sintetizar uma teoria completa, muito concisa, acercado eletromagnetismo, possibilitando o entendimento da geração das ondas eletromagnéticas. Não é um exagero dizer que se trata de uma das mais belas teorias da física.

Inicialmente vamos comentar, de forma resumida, o significado das leis de Maxwell na sua forma integral lembrando o estudo das mesmas, já feito anteriormente.

1)   Lei de Gauss para o Campo Elétrico

Na forma integral estabelece que o fluxo elétrico é proporcional à carga elétrica contida no interior de uma superfície fechada. Esta superfície S é chamada de gaussiana.

2)   Lei de Gauss para o Campo Magnético

Aplicado ao campo magnético estabelece que o fluxo magnético através de  uma gaussiana é sempre nulo. Deste modo as linhas de campo nunca divergem nem convergem para um ponto. Os pólos magnético são inseparáveis levando em consideração a inexistência da carga magnética.

3)   Lei de Àmpere-Maxwell

Generalizada por Maxwell, mostra que a circulação do vetor campo magnético ao longo  de qualquer trajetória fechada é proporcional à soma da corrente total mais a variação temporal do fluxo do campo elétrico que atravessa a superfície limitada pela circulação.

4)   Lei de Faraday-Lenz

Estabelece que a circulação do campo elétrico ao longo de uma trajetória fechada é proporcional ao valor negativo da variação do campo magnético através da superfície limitada por essa circulação.

As equações de Maxwell ainda podem ser reescritas na forma diferencial.

A lei de Gauss para o campo elétrico pode ser reescrita a partir da consideração de que a carga elétrica, no interior de uma gaussiana, é a integral da densidade de carga no volume limitado por essa superfície.

Sendo ρ a função densidade volumétrica de carga. Aplicando o teorema de Gauss

Observa-se que a igualdade entre as duas integrais de volume só é possível se os integrandos forem idênticos:

Da mesma forma agora aplicando ao campo magnético (2)

Observa-se que a divergência do campo magnético será sempre nula.

As leis de Àmpere e Faraday também podem ser reescritas, mas com a teoria de Stokes.

Levando em consideração que o campo elétrico é uma função das coordenadas: espaciais e temporais, E(x, y, z, t):

Escrita deste modo a lei deÀmpere estabelece que o rotacional do campo magnético é proporcional á densidade de corrente e também á variação temporal do campo elétrico.

Agora na lei de Faraday:

Como o campo magnético é uma função das coordenadas espaciais e temporal, ou seja, , invertendo-se no segundo termo a ordem das operações, tomando primeiro a derivada depois a integral com a transformação da derivada ordinária em uma derivada parcial chega-se:

Portanto resumidamente a passagem da forma integral para a diferencial das quatro equações de Maxwell assumem a forma:

1)   Lei de Gauss:

2)   Lei de Gauss para o Campo Magnético

3)   Lei de Àmpere-Maxwell

4)   Lei de Faraday-Lenz

É preciso lembrar que as equações de Maxwell, ao serem escritas na forma diferencial não devem alterar seu significado físico. Chega-se nas mesmas conclusões, mas de uma forma um pouco diferente, como se discute a seguir:

• Ao reescrever a lei de Gauss na forma diferencial, pode-se  dizer que se dentro de um volume de controle existe uma divergência de campo elétrico é porque existe uma carga elétrica líquida no interior desse volume.
• Ao reescrever a lei de Gauss para o magnetismo é afirmado que é impossível a existência de monopólios isolados.
• Na lei de Àmpere é necessário analisar os dois termos do segundo membro em relação ao termo do primeiro membro. O termo  diz que a densidade de corrente () atravessando uma superfície aberta ocorre a existência de um campo magnético em torno dessa corrente. O segundo  mostra que se existe um campo elétrico variável no tempo travessando uma superfície aberta, então um campo magnético induzido será circundante a este campo elétrico.
• A indução de Faraday mostra que se um campo magnético varia no tempo ocorre a indução de um campo elétrico circundante em torno do campo magnético. O sinal negativo significa que este campo elétrico induzido se oporá à variação do campo magnético.